Introducción
Hace un tiempo tuve la oportunidad de exponer en una conferencia sobre la historia y filosofía de la matemática. Mientras me preparaba para el evento, decidí repasar conceptos fundamentales que a menudo damos por sentado pero que utilizamos con frecuencia. Uno de estos conceptos esenciales es la «definición matemática». Esto me llevó a preguntarme: ¿Qué es una definición matemática? ¿Cómo podemos definir una definición matemática?
En este artículo exploraremos en detalle qué es una definición matemática y cómo se relaciona con las condiciones necesarias y suficientes. También analizaremos la diferencia entre estos dos tipos de condiciones y su importancia en la matemática.
¿Qué es una definición matemática?
Cualquier matemático comprende la importancia de las definiciones, ya que son el punto de partida para construir, delimitar e identificar objetos matemáticos. Los libros de matemáticas están repletos de definiciones, como la de número primo, función inversa, grupo, espacio vectorial, entre otros. La habilidad para entender estas definiciones es crucial para el éxito en matemáticas.
¿Alguna vez te has detenido a pensar qué es una definición matemática? ¿Cuáles son los elementos que la componen?
Una búsqueda sencilla sobre qué es una definición en general nos ofrece conceptos como:
- «Proposición que presenta de manera inequívoca y con precisión un concepto».
- «Fijar con claridad y exactitud la significación de una palabra, enunciando las propiedades que designan unívocamente un objeto».
En matemáticas, definir es un proceso similar. Consiste en determinar, mediante una sentencia o proposición, las cualidades esenciales (propiedades y características) de un objeto. Pero, ¿Cómo se define en matemáticas? Se define utilizando una condición necesaria y suficiente. Esto significa que la definición debe incluir todos los atributos que hacen que el objeto sea precisamente lo que es, sin dejar lugar a ambigüedades.
¿Qué es una condición necesaria?
Es una condición, propiedad o característica que debe cumplirse para que algo sea verdadero u ocurra. Es decir, es un requisito indispensable, aunque no necesariamente el único, para que se cumpla o suceda una determinada situación.
Ejemplos de condiciones necesarias
- Es una condición necesaria tener 18 años de edad para obtener la licencia de conducir. Sin esta condición es imposible que te otorguen (legalmente, por lo menos) la licencia de conducir, pero no es suficiente, porque se necesita cumplir otros requisitos o condiciones, como no tener discapacidades graves que te imposibiliten conducir.
- Tener una licencia de conducir válida es una condición necesaria para operar legalmente un vehículo en la mayoría de los países
- Tener gasolina en el tanque es una condición necesaria para que un automóvil con motor de combustión interna pueda funcionar.
- Ser una función continua es una condición necesaria para que una función sea derivable.
- Que la función sea inyectiva es una condición necesaria para que la función sea biyectiva.
¿Qué es una condición suficiente?
En una proposición de la forma «si P, entonces Q», P es la condición suficiente. Esto significa que si P se cumple, garantiza que el evento Q también sea cierto u ocurra. Dicho de otra forma: es una propiedad o circunstancia que, si se cumple, asegura que otro evento también se cumplirá.
Por ejemplo: «Si llueve, entonces mi ropa se moja.» En este caso, «llover» es una condición suficiente para que mi ropa se moje. Sin embargo, no es una condición necesaria, ya que existen otras situaciones que también pueden mojar mi ropa, como salpicar agua o caer en una piscina.
Ejemplos de condiciones suficientes
Ejemplo de condición suficiente:
- Es una condición suficiente ser una función derivable para ser una función continua.
- Encender el interruptor es una condición suficiente para que la luz se encienda (suponiendo que la instalación eléctrica funciona correctamente). Si enciendes el interruptor, entonces la luz se enciende.
- Haber cocinado una comida es una condición suficiente para tener algo que comer (Si has cocinado una comida, entonces tienes algo que comer)
Diferencia entre condición suficiente y condición necesaria
Condición Necesaria: Debe cumplirse para que el evento ocurra, pero no garantiza que el evento ocurra por sí sola.
Ejemplo de condición necesaria pero no suficente: Es necesario que una función sea continúa para que sea derivable, pero no es suficiente. (La función valor absoluto es continua pero no es derivable en todo su dominio).
Condición Suficiente: Garantiza el evento si se cumple, pero no es la única forma en que el evento puede ocurrir.
Ejemplo de condición suficiente pero no necesaria: Que dos triángulos tengan los mismos ángulos es suficiente para que sean semejantes. Si dos triángulos tienen los mismos ángulos, entonces son semejantes. Sin embargo, hay triángulos semejantes que no tienen los mismos ángulos, como los triángulos escalenos.
Condiciones que son suficientes y necesarias
¿Puede darse el caso de que una condición sea necesaria y suficiente a la vez? Sí, esto es lo que llamamos una definición matemática.
- Es necesario y suficiente ser un número par para ser divisible por 2.
- Es necesario y suficiente ser divisible solo por 1 y por sí mismo para ser un número primo.
- Es necesario y suficiente ser un triángulo con un ángulo recto para ser un triángulo rectángulo.
- Es necesario y suficiente que el agua alcance 100 grados Celsius para que hierva.
Sabemos que estamos ante una condición necesaria y suficiente cuando podemos invertir la proposición y sigue siendo necesariamente cierta. Es decir, estamos ante una situación de «P si y solo si Q». En otras palabras, una definición matemática es una doble implicación.
Una condición necesaria y suficiente puede consistir en más de una proposición o propiedad. Regularmente, esta condición es una lista de propiedades o características que identifican de forma única a un objeto. Por ejemplo, en la definición de un grupo o un espacio vectorial, se especifican varias propiedades que deben cumplirse simultáneamente.
En resumen, una definición matemática es una condición necesaria y suficiente.
Conclusión
Entender estas diferencias es crucial para el razonamiento lógico y matemático, así como para muchas aplicaciones prácticas en la vida cotidiana.
